fuerzasymovimientosfisk1: mayo 2012

jueves, 24 de mayo de 2012

Propagación de incertidumbres para multiplicación y división

En ciencias e ingeniería (experimentales) es imprescindible realizar mediciones, que consisten en obtener la magnitud fisica de algun atributo de objetos ( proceso, fenomeno, sustancia, etc). Ejemplos de algunos atributos son; longitud, masa, temperatura, sonsistencia. Para determinar el valor de una magnitud fisica se emplea un instrumento de medicion y un metodo de medicion. Asi tambien se requiere definir una unidad de medicion. [practica: definir el patron de medicion de longitud, masa, tiempo]

El termino error es sinonimo como incertidumbre experimental. Existen limitaciones instrumentales, fisicas y humanas que causan una desviacion del valor “verdadero” de las cantidades que se desean medir. Estas desviaciones son denominadas incertidumbres experimentales o errores en la medicion. El valor verdadero es aquel que obtendriamos si no existiesen errores en las mediciones, sin embargo esto
es imposible. Se puede mejorar el procedimiento de medicion pero jamas se puede eliminar el error, por lo que jamas podemos esperar el valor verdadero. Entre las varias limitaciones de medicion se tienen:

- la precision y exactitud de los instrumentos de medicion
- la interaccion del metodo de medicion con el mesurando
- la definicion del objeto a medir
- la influencia del observador que realiza la medicion.

En la presentacion y analisis de los reusltados de medicion se requiere expresar el grado de error o el limite probabilistico de la incertidumbre. El estudiante debe ser capaz de cuantificar el error asociado a las mediciones y analizar como se afectan los resultados (esto es propagacion de error). El error se puede concebir como la dispersion de las diferentes mediciones de un valor central.

TIPOS DE ERRORES

Los errores experimentales son de dos tipos: determinados (sistematicos) e indeterminados. Los errores determinados o sistematicos. Sistematico, significa que cuando se realizan mediciones repetidas, el error tiene la misma magnitud y el mismo signo algebraico, Determinado, significa que pueden ser reconocidos e identificados, por lo tanto la magnitud y el signo son determinables. Ejemplos:
un instrumento o escala no calibrada, una persona que no distingue colores correctos, el uso de un valor no correcto de una constante (o unidades no adecuadas).
Los errores indeterminados estan siempre presentes en las mediciones experimentales. En estos no existe la manera de determinar el signo ni la magnitud del error en mediciones repetidas. Los errores indeterminados resultan, en el proceso de medicion, en la obtencion de diferentes valores cuando se efectuan mediciones repetidas (asumiendo que todas las condiciones permanecen constantes). Las causas
en los errores indeterminados son diversas; error del operador o sesgo, condiciones experimentales fluctuantes, variabilidad inherente en los instrumentos de medicion, etc.
El efecto que tienen los errores indeterminados en los resultados se puede minimizar al efectuar mediciones repetidas y despues calcular el promedio. El promedio se considera una mejor representacion del valor verdadero que una sola medicion, ya que los errores de signo positivo y los de signo negativo tienden a compensarse en el calculo de la media.
Los errores determinados pueden ser mas importantes que los indeterminados por tres razones; no existe metodo seguro para descubrirlos e identificarlos al analizar los datos experimentales, sus efectos no pueden ser reducidos al promediar mediciones repetidas, los errores determinados tienen la misma magnitud y signo para cada medicion en un conjunto de mediciones repetidas, por lo que no tienden a cancelarse los errores negativos y los positivos.

Propagación de incertidumbres para suma y resta

Tipo A.-

Componentes que pueden ser

evaluados a partir de distribuciones

estadísticas

de series de resultados, que

pueden caracterizarse por desviaciones

estándar

•

Tipo B.- Por desviaciones estándar, pero se

evalúan a partir de distribuciones de

probabilidad

supuesta basadas en la

experiencia

o en otro tipo de información

Incertidumbre asociada a medidas no reproducibles

El alumno determinará las incertidumbres a partir de los instrumentos de medición.

2. El alumno determinará las incertidumbres en mediciones indirectas.

3. El alumno comparará la medición de una magnitud realizada en forma directa y en forma indirecta.

4. El alumno determinará las incertidumbres con métodos estadísticos.

Todas las mediciones tienen asociada una incertidumbre que puede deberse a los siguientes factores:

• la naturaleza de la magnitud que se mide

• el instrumento de medición

• el observador

• las condiciones externas

Cada uno de estos factores constituye por separado una fuente de incertidumbre incertidumbre y contribuye en mayor o menor grado a la incertidumbre total de la medida. La tarea de detectar y evaluar las incertidumbres no es simple e implica conocer diversos aspectos de la medición.

Medidas no reproducibles

Son los que se repiten constantemente y afectan al resultado en un sólo sentido (aumentando o disminuyendo la medida).

Pueden ser debidos a un mal calibrado del aparato, a la utilizacion de fórmulas (teoría) incorrectas, al manejo del aparato de forma no recomendada por el fabricante, etc. Estos errores sólo se eliminan mediante un análisis del problema y una "auditoría" de un técnico más cualificado que detecte lo erróneo del procedimiento.

Errores accidentales o aleatorios

No es posible determinar su causa. Afectan al resultado en ambos sentidos y se pueden disminuir por tratamiento estadístico: realizando varias medidas para que las desviaciones, por encima y por debajo del valor que se supone debe ser el verdadero, se compensen.

Incertidumbre asociada a medidas reproducibles

Una medición es el resultado de una operación humana de observación mediante la cual se compara una magnitud con un patrón de referencia.

Por ejemplo, al medir el diámetro de una varilla, se compara el diámetro de la varilla con una regla graduada y se lee en la escala. Por otro lado, al medir la velocidad de un corredor, se compara el tiempo que tarda en recorrer una determinada distancia con el intervalo de tiempo registrado por un cronómetro, y después se calcula el cociente de la distancia recorrida entre el valor leído en el cronómetro.

Cuando alguien mide algo, debe tener cuidado para no producir una perturbación en el sistema que está bajo observación. Por ejemplo, cuando se mide la temperatura de un cuerpo, se le pone en contacto con un termómetro. Pero, cuando se les pone en contacto, se intercambia energía en forma de calor entre el cuerpo y el termómetro, dando como resultado un pequeño cambio en la temperatura de ambos. Así, el instrumento de medida afecta de algún modo a la magnitud o variable que se desea medir.

En consecuencia, toda medición es una aproximación al valor real y por lo tanto siempre tendrá asociada una incertidumbre.

La existencia de diversos patrones de medida para una misma magnitud, ha creado dificultades en las relaciones internacionales de comercio, en el intercambio de resultados de investigaciones científicas, etc.

Medidas reproducibles

La medición es un proceso básico de la ciencia que consiste en comparar un patrón seleccionado con el objeto o fenómeno cuya magnitud física se desea medir para ver cuántas veces el patrón está contenido en esa magnitud.

Es determinar la dimensión de la magnitud de una variable en relación con una unidad de medida preestablecida y convencional.
Se conocen algunos sistemas convencionales para establecer las unidades de medida: El Sistema Internacional y el Sistema Inglés.
Definición 2
Es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar y una cantidad conocida de la misma magnitud, que elegimos como unidad. Teniendo como punto de referencia dos cosas: un objeto (lo que se quiere medir) y una unidad de medida ya establecida ya sea en Sistema Inglés, Sistema Internacional, o una unidad arbitraria.
Al resultado de medir lo llamamos Medida.
Cuando medimos algo se debe hacer con gran cuidado, para evitar alterar el sistema que observamos. Por otro lado, no hemos de perder de vista que las medidas se realizan con algún tipo de error, debido a imperfecciones del instrumental o a limitaciones del medidor, errores experimentales, por eso, se ha de realizar la medida de forma que la alteración producida sea mucho menor que el error experimental que se pueda cometer.

Al patrón de medir le llamamos también Unidad de medida.
Debe cumplir estas condiciones:
1º.- Ser inalterable, esto es, no ha de cambiar con el tiempo ni en función de quién realice la medida.
2º.- Ser universal, es decir utilizada por todos los países.
3º.- Ha de ser fácilmente reproducible.
Reuniendo las unidades patrón que los científicos han estimado más convenientes, se han creado los denominados Sistemas de Unidades.

Tipos de errores en la medida

Al hacer mediciones, las lecturas que se obtienen nunca son exactamente iguales, aun cuando las efectúe la misma persona, sobre la misma pieza, con el mismo instrumento, el mismo método y en el mismo ambiente (repetibilidad). Los errores surgen debido a la imperfección de los sentidos, de los medios, de la observación, de las teorías que se aplican, de los aparatos de medición, de las condiciones ambientales y de otras causas.

Medida del error: En una serie de lecturas sobre una misma dimensión constante, la inexactitud o incertidumbre es la diferencia entre los valores máximo y mínimo obtenidos.

Incertidumbre = valor máximo - valor mínimo

El error absoluto es la diferencia entre el valor leído y el valor convencionalmente verdadero correspondiente.

Error absoluto = valor leído - valor convencionalmente verdadero

El error absoluto tiene las mismas unidades de la lectura.

El error relativo es el error absoluto entre el valor convencionalmente verdadero.

Error relativo = error absoluto

valor convencionalmente verdadero

Y como el error absoluto es igual a la lectura menos el valor convencionalmente verdadero, entonces:

Error relativo = valor leído -valor convencionalmente verdadero

valor convencionalmente verdadero

Con frecuencia, el error relativo se expresa en porcentaie multiplicándolo por cien.

Clasificación de errores en cuanto a su origen.

El error instrumental tiene valores máximos permisibles, establecidos en normas o información técnica de fabricantes de instrumentos, y puede determinarse mediante calibración.

Errores del operador o por el modo de medición: Muchas de las causas del error aleatorio se deben al operador, por ejemplo: falta de agudeza visual, descuido, cansancio, alteraciones emocionales, etcétera. Para reducir este tipo de errores es necesario adiestrar al operador:

Error por el uso de instrumentos no calibrados: instrumentos no calibrados o cuya fecha de calibración está vencida, así como instrumentos sospechosos de presentar alguna anormalidad en su funcionamiento no deben utilizarse para realizar mediciones hasta que no sean calibrados y autorizados para su uso.

Error por la fuerza ejercida al efectuar mediciones: La fuerza ejercida al efectuar mediciones puede provocar deformaciones en la pieza por medir, el instrumento o ambos.

Error por instrumento inadecuado: Antes de realizar cualquier medición es necesario determinar cuál es el instrumento o equipo de medición más adecuado para la aplicación de que se trate.

Además de la fuerza de medición, deben tenerse presente otros factores tales como:

- Cantidad de piezas por medir

- Tipo de medición (externa, interna, altura, profundidad, etcétera.)

Conceptos de "mínima escala" e "incertidumbre"

EN TERMINOS DE METROLOGIA:
Incertidumbre de la medición: parámetro asociado a los resultados de una medición que caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser atribuidos razonablemente al mensurando o magnitud sujeta a una medición.

La incertidumbre está presente en todos los aspectos de la metrología. Al medir temperatura con un termómetro, al medir longitud con una regla, o al pesar una carga en una balanza. Esto, por las circunstancias o condiciones que rodean a la medición. Así, vemos que uno de los componentes de la incertidumbre viene dado por la graduación o resolución del instrumento, exactitud de los sensores, el uso correcto del aparato en condiciones favorables, etc.

EN TERMINOS TECNICOS:
La incertidumbre es el intervalo o rango de los valores posibles de una medida. Incluye tanto los errores sistemáticos como aleatorios.

Ejemplo: una medición y su respectiva incertidumbre:
23.5 cm ± 0.2 cm
donde el valor real de la magnitud queda incluida en el intervalo:
23.3 cm ≤ x ≤ 23.7 cm

Redondeo y truncamiento de decimales

En el subcampo matemáticos del análisis numericos , truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal , descartando los menos significativos.
Por ejemplo dados los números reales :

3,14159265358979...

32,438191288

6,3444444444444

Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal.
El resultado es:

3,1415

32,4381

6,3444

Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo , pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.

Despeje

La Zona de distensión, zona de despeje de San Vicente del Caguán o simplemente El Caguán, fue un área otorgada por el gobierno del presidente Andres Pastrana mediante Resolución 85 de 14 de octubre de 1998, para adelantar un proceso de Paz con las Fuerzas armadasRevolucionarias de Col (FARC) y acabar con el conflicto armado colombiano . Se creó en noviembre de 1998 y entró en efecto en enero de 1999. Comprendió una extensión de 42.000 kilómetros cuadrados y estuvo conformada por los municipios de La Uribe , Mesetas , La Macarena y Vista Hermosa en el departamento del Meta, y por San Visente de aglaran en el departamento del Caguetá .
La zona de distensión fue abolida por el presidente Pastrana el 21 de febrero de 2002, quien además ordenó a las Fuerzas militares de Colombia retomar la zona de distinción . Una vez recuperada la región por las Fuerzas Militares se le empezó a llamar en ocasiones la Antigua zona de distensión.

Prioridad de operaciones

Combinación de sumas y diferencias.

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Combinación de sumas, restas y productos.

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =

Realizamos primero las multiplicacion por tener mayor prioridad.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Combinación de sumas, restas , productos y divisiones.

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Combinación de sumas, restas , productos , divisiones y potencias.

2³ + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2² − 16 : 4 =

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =

Seguimos con los productos y cocientes.

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 26

2. Operaciones combinadas con paréntesis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 2³) =

Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=

Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

[15 − (2³ − 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2 =

En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:

= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los paréntesis.

= 12 · 7 − 3 + 2

Multiplicamos.

= 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos.

= 83

Relaciones y funciones trigonométricas

En matemáticas , las funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la definición de las razones trigonometricas a todos los números reales y complejos.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en fisica , astronomia , cartografia , náutica, telecomunicasiones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un tríangulo regtángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Relaciones lineales, potenciales y polinómicas

Cuando se dispone de una serie de datos experimentales, con mucha frecuencia resulta provechoso determinar la relación matemática entre las variables dependiente e independiente. Una forma por demás conveniente, es a través de una ecuación que se ajuste a los datos; en el caso de los datos experimentales, la ecuación de ajuste, se llama empírica y es muy particular tanto de los datos como del fenómeno mismo.

Una vez que se han localizado los pares ordenados (x, y) de un experimento en el plano cartesiano de un papel milimétrico, se traza o dibuja la línea curva, según sea la tendencia general de los puntos ordenados (x, y) para determinar el tipo de relación funcional que existe entre las variables. Por lo general estas relaciones son cuatro formas básicas o fundamentales:

Lineales

Potenciales

Exponenciales

Logarítmicas

a partir de las cuales se puede identificar la representación de los datos experimentales, lo que a su vez facilitará la determinación de la curva empírica.

(1)	y = mx + b

en donde "m" representa la pendiente ó ángulo de inclinación de la línea. ésta puede ser positiva o negativa, y tiene un valor constante. De igual manera la ordenada al origen o intercepto "b" con el eje "y".

En el caso de las gráficas; potenciales, exponenciales y logarítmicas, estas presentan algunas características similares. Por ejemplo una gráfica potencial tiene por ecuación la siguiente expresión:

(2)

Relaciones directamente proporcionales e inversamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando a medida que aumentan o (disminuyen) los valores de una de ellas, aumentan (o disminuyen) los de la otra. Ejemplo: El precio de los alfajores es directamente proporcional a al cantidad que compre.

Cuando a medida que aumentan las cantidades de una magnitud, disminuyen las cantidades de la otra (o al revés) se dice que son inversamente proporcionales. Ejemplo: La velocidad de un auto para hacer un trayecto, y el tiempo que tarda en recorrerlo

Graficación de Puntos en el Plano

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.

Signos

	Abscisa	Ordenada
1^ercuadrante	+	+
2º cuadrante	−	+
3^ercuadrante	−	−
4º cuadrante	+	−

El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas: O(0, 0).

Los puntos que están en el eje de ordenadas tienen su abscisa igual a 0.

Los puntos situados en el eje de abscisas tienen su ordenada igual a 0.

Los puntos situados en la misma línea horizontal (paralela al eje de abscisas) tienen la misma ordenada.

Los puntos situados en una misma línea vertical (paralela al eje de ordenadas) tienen la misma abscisa.

Ejercicio

Representa en los ejes de coordenadas los puntos:

A(1, 4), B(-3, 2), C(0, 5), D(-4, -4), E(-5, 0), F(4, -3), G(4, 0), H(0, -2)

Conseptos de "Función" y "ecuación"

En matemáticas , una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

$a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0$

donde los coeficientes a_i(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función transedente.
En términos más precisos, una función algebraica puede no ser estrictamente una función, por lo menos no en el sentido convencional. Por ejemplo sea la ecuación de una circunferencia:

$y^2+x^2=1.\,$

La misma determina y, excepto por su signo:

$y=\pm \sqrt{1-x^2}.\,$

ecuación

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias : aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derevadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Conseptos de "Variables dependientes" y "Variables independientes"

Las variables se refieren a propiedades de la realidad cuyos valores varían, es decir, su idea contraria son las propiedades constantes de cierto fenómeno . Las variables en la investigación representan un concepto de vital importancia dentro de un proyecto. En un diseño esperimental , la hipótesis plantea que los cambios en una o más de las variables independientes generarán cambios en una o más de las variables dependientes .

Variable independiente

Es una variable que no depende de otra, por lo general, es el objeto o evento en el que se centra la investigación.

Variable dependiente
Es una variable que depende de otra o está subordinada a otra variable (variable independiente).

Variables intervinientes
Son variables que pueden tomar parte en el estudio o investigación.

Otros tipos de variables

variable control: aquélla variable que se inspecciona y vigila en la experimentación para asegurar que los cambios en ella no son los que explican o provocan los cambios en la variable dependiente
variable continua
variable discreta
variable indibidual
variable coleptiva
variable antesedente
variable aleatora

Operaciones de Notación Cientifica

Objetivos:

Explicar cómo se expresan las operaciones realizadas a través de la notación científica.
Definir las principales operaciones que se llevan a cabo con el uso de la notación científica.

Las operaciones fundamentales con cantidades muy grandes o muy pequeñas se realizan por medio de la

notación científica, la cual facilita el proceso.

Los números que están extendidos antes de las

potencias de 10, obedecen las leyes que rigen a las operaciones con números decimales y que a continuación se definen:

Suma y resta

Estas operaciones expresadas en notaciones científicas deben tener cantidades con la misma potencia de diez.

Ejemplos:

a) 3.58x10+1.48x10=(3.58+1.48) x 10= 5.06 x 10³

b) 7.25x10+2.15x10=(7.25+2.15) x 10= 9.4 x 10⁵

c) 7.53x10⁴+19.3x10⁴=(7.53+19.3) x 10⁴= 26.83 x 10⁴

En la resta se opera de la misma forma.

a) 9.51 x 10-5.83 x 10= (9.51-5.83) x 10= 3.68 x 10

b) 4.307 x 10-1.919 x 10= (4.307-1.919)X10= 2.388 x 10

c) 54 x 10²-3.58 x 10²= (54-3.58) x 10²= 46.42 x 10²